Programa en C++ de la serie de Fibonacci

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Programa en C++ de la serie de Fibonacci

Video explicativo de series de Fibonacci

Fibonacci

Leonardo de Pisa,

 también llamado Leonardo Pisano, Leonardo Bigollo o simplemente Fibonacci, fue un matemático italiano. Difundió en Europa la utilidad práctica del sistema de numeración indo-arábigo frente a la numeración romana, y fue el primer europeo en describir la sucesión numérica que lleva su nombre.Para quienes no conozcan la sucesión de Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales que comienza con los números 1 y 1, y a partir de ellos, cada término se obtiene sumando los dos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597…

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. El nombre de sucesión de Fibonacci se lo debe a Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.

Esta sucesión no tendría nada de particular sino fuera porque aparece repetidamente en la naturaleza y, además, tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos, entre otras.

Historia del Polinomio

Volumen de una pirámide truncada.

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

Algunos polinomios, como P(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolò Fontana Tartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.

Funciones polinómicas

Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:

${\displaystyle f_{P}:A\to A,\qquad \qquad a\in A\mapsto f_{P}(a)=a_{n}a^{n}+a_{n-1}a^{n-1}+\dots +a_{1}a+a_{0}\in A}$

Las funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Estas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.

Polinomios variables

Polinomios de una variable

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, entonces un polinomio ${\displaystyle P_{}^{}}$ de grado n en la variable x es un objeto de la forma

${\displaystyle P(x)_{}^{}=}$ ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.}$

Un polinomio ${\displaystyle P(x)\in K[x]}$ no es más que una sucesión matemática finita ${\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n}}$ tal que ${\displaystyle a_{n}\in K}$.

Representado como:

${\displaystyle P(x)_{}^{}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$.

suma de Polinomios

Clasificación de polinomios

Polinomios aritméticos con números enteros.

¿Que es un polinomio aritmético?
Es una expresión matemática en la que se indican varias operaciones que pueden tener signos de agrupación o no.
Para solucionar correctamente un polinomio es necesario:
Para resolver un polinomio sin signos de agrupación primero se resuelven las potencias y radicaciones, luego multiplicaciones y las divisiones, y por ultimo las sumas y restas.

Para resolver uno con signos de agrupación primero se resuelven los paréntesis, luego los corchetes y finalmente las llaves.

Número entero

La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).

Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales ℕ= {0, 1, 2, 3, ...}, sus inversos aditivos y el cero.¹ Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3...},¹ letra inicial del vocablo alemánZahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos.